Европейско Кенгуру-задачи

https://klasirane.com/EK.asp

Задачи състезания

Пример 1:Ако 10 гълъба поставяме в 9 кафеза ,както и да ги поставяме

винаги ще има кафез ,в който ще трябва да поставим поне два гълъба.

Най-лошият случай - деветте гълъба са поставени всеки в отделен кафез .Тогава десетият гълъб , ще трябва да поставим при зает кафез и отново ще има кафез с два гълъба в нея.

Пример 2. 6 заека поставяме в 4 клетки .Както и да ги поставяме,винаги ще има поне една клетка в която ще поставим най-малко два заека .

В математическата литература това свойство се нарича "Принцип на Дирихле", на името на великият немски математик

Йохан Петер Густав Льожон Дирихле (1805-1859 година)

В най-простата си форма той гласи: Ако m предмета са поставени в n чекмеджета и m>n ,поне едно от чекмеджетата ще съдържа най-малко два предмета.

Най - общо това свойство се разглежда така :Нека няколко предмета са разположени в чекмеджета. Ако предметите са повече от чекмеджетата, то тогава в поне едно чекмедже има повече от един предмет.

Принципът на Дирихле е метод с който просто и елегантно без много пресмятания се доказва съществуването на определено свойство на предмети(множества ) с общи съображения.

Задача Седем ученика имат по една монета със стойност по -малка от един лев .Покажете,че двама от тях имат монети с равни стойности .

Решение

(1)Българските монети по-малки от 1 лев са :

1 стотинка, 2 стотинки,5 стотинки,10 стотинки,20 стотинки и 50 стотинки ,точно 6 вида.

(2)Децата са седем .

За нас децата са предметите ,а монетите са "чекмеджетата "

Като приложим Принципа на Дирихле ,правим извода,че каквито и монети да имат децата винаги има поне две ,които ще имат еднакви монети .

Задача В един клас има 13 деца. Покажете,че има поне две деца, които са родени в един и същ месец .

Решение

Упътване:За нас "чекмеджетата " са месеците- точно 12 , а децата са предметите - точно 13

Задача Съставете подобна задача - изберете предмети и "чекмеджета"

Задача В едно училище учат 367 ученика .Покажете,че поне двама ученика са родени в един и същ ден в една календарна година .

Решение

За нас "чекмеджетата " са 365 или 366 дни - това са дните от календарната година в зависимост от това дали е високосна или не , а децата са предметите - точно 367 . Тогава съгласно ПД има винаги ,най-малко поне две деца , които празнуват своя рожден ден в един и същ ден от годината .

Задача Квадрат със страна 5 dm е разделен на 25 еднакви квадратчета .Във всяко квадратче има по един бръмбар .Всеки бръмбар се премества на съседно квадратче само по вертикал или хоризонтал. Да се установи,че поне два бръмбара ще се преместят в едно и също квадратче

Решение.

Нека оцветим квадрата шахматно ,като първата клетка е бяла . Ще имаме 13 бели и 12 черни квадаратчета .

При дадена "команда" всяко бръмбарче се премества в съседна клетка

За нас 12 черни квадратчета са "чекмеджетата" , а 13 бели са предметите .

Следователно както и да се преместват бръмбарите от 13 бели в 12 черни (движението е по съседни,а те са оцветени в различен цвят ) ,винаги ще има поне два бръмбара в една и съща клетка .

Задача Куб е съставен от 27 еднакви кубчета със страна един сантиметър .Бръмбар в даден момент се намира в централното кубче .Той може да се движи ,като преминава във всяко от съседните кубчета (кубчета с обща стена )Може ли бръмбарът да премине през всички кубчета ,като спазва условието - през всяко кубче може да преминава само по веднъж .

Задача Всички двуцифрени числа са записани на 90 картончета (по едно на картонче). Колко най-малко картончета трябва да избера, без да гледам, за да е сигурно, че две от тях имат еднакви сборове на цифрите си?

А) 19 B) 10 C) 27 D) 28

Решение

Ще конструираме "чекмеджета" и предмети

(1) Двуцифрените числа записваме с помощта на цифрите 0,1,2,3,4,5,6,7,8 и 9 и те са точно 90

Тогава сборовете от цифрите им са измежду числата : 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18 - точно 18 .

За нас това са "чекмеджетата" .

(2)Ако вземем 18 картончета ,то е възможно в най-лошият случай, всички те да имат различен сбор и да няма две с еднакъв сбор от цифрите си .

(3)Тогава, ако си вземем 19 картончета, според принципа на Дирихле ,винаги ще има поне две с еднакви суми от цифрите на числата с които са записани

Отговор A)

Задача Всички двуцифрени числа са записани на картончета (по едно на картонче). Колко най-малко картончета трябва да изберете, без да гледате, за да сте сигурни, че две от тях имат еднакви разлики на цифрите си?

А) 11 B) 10 C) 9 D) друг отовор

Отговор A)